Nächste Seite: Zyklen von Diskreten Dynamischen
Aufwärts: Sätze und Definitionen
Vorherige Seite: Der Fluß eines Vektorfeld
Es sei
eine differenzierbare Funktion. Dann ist die Richtungsableitung
definiert als
Wenn
eine Lösungskurve ist, dann ist
die Ableitung
der Funktion
,
.
Bei Gleichgewichtspunkten ist die Richtungsableitung jeder Funktion gleich Null. Eine Funktion
ist also dann strikt Ljapunov beim Gleichgewichtspunkt
, wenn
gleichzeitig lokales Maximum von
und lokales Minimum von
ist.
Beweis.
Die Lösungskurven können die Teilgebiete
, wobei
ist,
nie verlassen. Außerdem ist die Ableitung der Funktion
stets
negativ für
, daher ist
für alle Lösungskurven.
Satz 16
Es sei
ein Equilibrium, sodaß die Eigenwerte der Jacobi-Matrix bei
alle positiven bzw. negativen Realteil haben.
Dann ist
asymptotisch stabil.
Definition 14
Ein Gleichgewichtspunkt, bei dem die Eigenwerte der Jacobi-Matrix Realteil ungleich Null
haben, heißt hyperbolischer Gleichgewichtspunkt.
Definition 15
Eine
Senke ist ein asymptotisch stabiler Gleichgewichtspunkt.
Eine
Quelle ist ein instabiler Gleichgewichtspunkt, der bei der Multiplikation des Richtungsfelds
mit
asymptotisch stabil wird.
Ein
Sattelpunkt ist ein hyperbolischer Gleichgewichtspunkt, der weder eine Quelle noch eine Senke ist.
Im Fall
sind alle Sattelpunkte lokal äquivalent. Für jeden Sattelpunkt gibt es 4 ausgezeichnete
Orbits, zwei ``hineingehende'' und zwei ``hinausgehende'' Orbits.
- Literatur:
- [2, III.8.3,III.9.1,III.9.3]
Nächste Seite: Zyklen von Diskreten Dynamischen
Aufwärts: Sätze und Definitionen
Vorherige Seite: Der Fluß eines Vektorfeld
Josef Schicho
2016-01-17