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Der Fluß eines Vektorfeld

Es sei $ F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld mit beschränkter Ableitung (damit die Lipschitz-Bedingung erfüllt ist). Es sei $ \phi:\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ die Abbildung, die durch die Bedingungen $ \phi(0,\vec{y})=\vec{y}$ for all $ \vec{y}\in\mathbb{R}^n$ , $ \frac{\partial\phi}{\partial t}(t,y)=F(\phi(t,y))$ definiert ist. Sie beschreibt die Lösung in Abhängigkeit von den Anfangswerten und ist daher stetig. Sie erfüllt die Funktionalgleichung

$\displaystyle \phi(t_1+t_2,\vec{y})=\phi(t_1,\phi(t_2(\vec{y})) ,$ (8)

insbesondere ist $ \phi_t:R^n\to\mathbb{R}^n$ , $ \phi_t(\vec{y})=\phi(t,\vec{y})$ invertierbar mit inverser Abbildung $ \phi_{-t}$ . Die Abbildung $ \phi$ heißt Fluß des Vektorfeldes $ F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ .

Wenn das Richtungsfeld $ F$ nicht Lipschitz-stetig ist, dann muß der Fluß nicht überall definiert sein. Wenn $ F$ differenzierbar ist, dann ist die Lipschitz-bedingung zumindest lokal auf jeder kompakten Teilmenge erfüllt, und für jeden Punkt $ \vec{y}\in\mathbb{R}^n$ ist der Fluß lokal in einer einen offenen Umgebung von $ (0,\vec{y})$ definiert.

Satz 13   Es sei $ U\subset\mathbb{R}^n$ offen und $ F:U\to\mathbb{R}^n$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann ist der Fluß $ \phi$ in seinem ganzen Definitionsbereich differenzierbar.

Beweis. Es sei $ \vec{y}\in U$ fix gewählt. Es ist schon gezeigt, daß $ \phi$ stetig ist, außerdem existiert die ``Zeitableitung'' $ \frac{\partial \phi}{\partial t}(t,\vec{y})=F(t,\phi(t,\vec{y}))$ . Es reicht zu zeigen, daß die ``Raumableitung'' $ \frac{\partial \phi}{\partial \vec{y}}$ existiert und stetig ist (der Wert der Raumableitung ist eine lineare Abbildung von $ \mathbb{R}^n$ nach $ \mathbb{R}^n$ ). Wir zeigen nur den Fall $ n=1$ .

Es sei $ z\in U$ , $ z\ne y(=\vec{y})$ . Es ist zu zeigen, daß die parameterabhängige Funktion $ g_z:t\mapsto\frac{\phi(t,z)-\phi(t,y)}{z-y}$ für $ z\to y$ konvergiert (der Grenzwert ist dann die Raumableitung). Die Abbildung $ x\mapsto\phi(t,x)$ ist injektiv für alle $ t$ im Definitionsbereich, daher ist $ \phi(t,z)-\phi(t,y)\ne 0$ gilt. Es gilt

$\displaystyle {\partial t}g_z(t) = \frac{\partial_t\phi(t,z)-\partial_t\phi(t,y...
...,z)-\partial_t\phi(t,y)}{\phi(t,z)-\phi(t,y)}\frac{\phi(t,z)-\phi(t,y)}{z-y} . $

Mit der Definition $ v_z(t)=\frac{F(\phi(t,z))-F(\phi(t,y))}{\phi(t,z)-\phi(t,y)}$ erfüllt $ g_z$ die Differenzialgleichung $ g_z'(t)=v_z(t)g_z(t)$ und die Anfangsbedingung $ g_z(0)=1$ . Dieses Anfangswertproblem ist linear, und nach Satz 12 ist der Grenzübergang $ z\to y$ erlaubt. Da $ F$ differenzierbar ist, ist $ \lim_{z\to y}v_z(t)$ definiert und gleich $ w(t):=F'(\phi(t,y))$ . Daher existiert auch die Raumableitung $ h$ als Lösung des Anfangwertproblems $ h'(t)=w(t)h(t), h(0)=1$ . $ \qedsymbol$

Definition 12   Es sei $ k$ eine positive ganze Zahl. Es seien $ D_1,D_2\subset\mathbb{R}^k$ offene und zusammenhängende Mengen, $ F_1:D_1\to\mathbb{R}^k$ und $ F_2:D_2\to\mathbb{R}^k$ Vektorfelder, $ p_1\in D_1$ und $ p_2\in D_2$ . Wir sagen $ F_1$ ist bei $ p_1$ lokal topologisch äquivalent zu $ F_2$ bei $ p_2$ wenn für Umgebungen $ U_1\subset D_1, p_1\in U_1$ und ein Homöomorphimus $ f:U_1\to U_2$ existiert, der jede Lösungskurve in eine Lösungskurve abbildet, und der auf den Lösungskurven die lineare Ordnung erhält, die durch die Parametrisierung mit $ t$ gegeben ist (informell ausgedrückt: der das Phasenbild inklusive Richtung der Pfeile erhält).

Definition 13   Es sei $ k$ eine positive ganze Zahl, $ D\subset\mathbb{R}^k$ eine offene und zusammenhängende Menge, $ F:D\to\mathbb{R}^k$ ein differenzierbares Vektorfeld, und $ p\in D$ ein Punkt sodaß $ F(p)\ne 0$ ist. Eine Hyperebene $ H\subset\mathbb{R}^k$ durch $ p$ heißt transversal zu $ F$ bei $ p$ , wenn der Vektor $ F(p)$ nicht in dem Vektorraum $ H-\{p\}$ (Hyperebene $ H$ verschoben, sodaß die durch den Nullpunkt geht) enthalten ist.

Satz 14   Es sei $ k$ eine positive ganze Zahl, $ D\subset\mathbb{R}^k$ eine offene und zusammenhängende Menge, $ F:D\to\mathbb{R}^k$ ein differenzierbares Vektorfeld, und $ p\in D$ ein Punkt sodaß $ F(p)\ne 0$ ist. Dann ist $ F$ bei $ p$ lokal äquivalent zum konstanten Vektorfeld $ (x_1,\dots,x_n)\to(1,0,\dots,0)$ bei $ (0,\dots,0)$ .

Beweis. Es sei $ H$ eine transversale Hyperebene. Dann ist die Flußabbildung $ \phi$ eingeschränkt auf $ \mathbb{R}\times H$ auf einer Umgebung von $ (0,p)$ definiert und differenzierbar. Die Jacobi-Matrix bei $ (0,p)$ ist nicht singulär, daher ist die Abbildung ein lokaler Homöomorphismus. Sie bildet die Lösungskurven des konstanten Vektorfelds (Geraden) auf L√∂sungskurven von $ F$ ab. $ \qedsymbol$

Es folgt, daß zwei Nicht-Gleichgewichtspunkte bei gleicher Dimension immer lokal äquivalent sind.

Literatur:
leider ist dieses Kapitel in keinem der beiden Bücher enthalten.


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Josef Schicho 2016-01-17