Zyklen von Diskreten Dynamischen Systemen

Es sei $U\subset\mathbb{R}^n$ ein offenes Gebiet, $F:U\to U$ stetig differenzierbar. Ein diskretes dynamisches System ist beschrieben durch die Rekursion

$$x_{n+1}=F(x_n), x_0\in U.$$

Mit dem Startwert $x_0$ ist die Folge $(x_n)_n$ eindeutig bestimmt. Ein $k$ -Zykel ($k>0$ ) liegt vor, wenn die Folge periodisch mit Periode $k$ ist. Die 1-Zyklen entsprechen genau den Fixpunkten von $F$ . Jeder $k$ -Zykel beginnt mit einem Fixpunkt von $F^k$ , und umgekehrt ist jede Folge mit einem Fixpunkt von $F^k$ als Startwert ein $l$ -Zykel mit $l\vert k$ .

Ein Zykel heißt Attraktor oder stabiler Zykel, wenn eine offene Umgebung von des Startwertes existiert, sodaß jede Folge, die in dieser Umgebung startet, gegen den Zykel konvergiert.

Satz 19   Es sei $(x_1,\dots,x_k)$ ein $k$ -Zykel mit Startwert $x_1$ . Wenn die Eigenwerte der Jacobi-matrix von $F^k$ bei $x_1$ Betrag kleiner als 1 haben, dann ist der Zykel ein Attraktor.

Für $n=1$ gibt es einen einfachen, aber wichtigen Spezialfall, nämlich den Fall daß $F$ monoton steigend ist. In diesem Fall ist jede Folge, die durch die Rekursion von $F$ definiert ist, monoton steigend oder fallend. Falls sie konvergiert, dann ist der Grenzwert ein Fixpunkt. Andere Zyklen existieren nicht.

Jede quadratische Rekursion $x_{n+1}=ax_n^2+bx_n+b$ , die mindestens einen Fixpunkt hat, läßt sich durch eine lineare Koordinatentransformation auf eine ''logistische'' Rekursion $x_{n+1}=F(x_n)=rx_n(1-x_n)$ mit $r\ge 1$ überführen. Sobald die Folge ein Glied außerhalb des Intervalles $[0,1]$ hat, divergiert sie gegen $-\infty$ .

Wenn $r\le 4$ , dann bleibt jede Folge mit Startwert in $[0,1]$ in diesem Intervall. Die Struktur der Zyklen hängt von $r$ ab und nimmt an Komplexität zu, wenn $r$ größer wird.

Für $r=4$ ist die Rekursion auf dem gesamten Intervall $[0,1]$ chaotisch, das heisst die Zykel liegen dicht und für zwei beliebige offene Mengen existiert eine Folge mit Werten in beiden offenen Mengen (topologische Vermischung).

Für $r>4$ divergieren die meisten zufällig gewählten Folgen mit Startwert in $[0,1]$ gegen $-\infty$ , es gibt aber eine Teilmenge, auf der das Verhalten chaotisch ist.

Der folgende Satz gilt für beliebige Rekursionen erster Ordung. Siehe auch folgenen Übersichtsartikel.

Die Sharkowski-Ordnung ist folgende lineare Ordung auf den natürlichen Zahlen:

$$1 \triangleleft 2 \triangleleft 2^2 \triangleleft \dots 2^2 7 \... ... \triangleleft 2\cdot 3 \triangleleft \dots 7 \triangleleft 5 \triangleleft 3$$

Satz 20 (Sharkowski)   Wenn $m\triangleleft n$ , dann hat jede Funktion, die einen $n$ -Zykel hat, auch einen $m$ -Zykel; und es existiert eine Funktion, die einen $m$ -Zykel, aber keinen $n$ -Zykel hat.

Zum Beispiel hat jede Funktion, die einen 3-Zykel hat, Zyklen beliebiger Länge, und jede Funktion die überhaupt einen Zykel hat, hat auch einen Fixpunkt.

Literatur:

[2, I.3]