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Rückführung auf Systeme erster Ordnung

Es sei $ D\subset\mathbb{R}$ ein offenes Intervall (m√∂glicherweise unbeschränkt). Eine Differentialgleichung für $ x:D\to\mathbb{R}$ von Ordnung $ k>1$ der Form

$\displaystyle \forall t\in D: x^{(k)}(t) = F(t,x(t),x'(t),\dots,x^{(k-1)}(t) ) , $

wobei $ F:D\times\mathbb{R}^k\to\mathbb{R}$ eine gegebene Funktion ist, läßt sich durch Einführung der Funktionen

$\displaystyle y_1=x, y_2=x',\dots, y_k=x^{(k-1)} $

auf das System von Differentialgleichungen

$\displaystyle \forall t\in D: y_1'(t)=y_2(t), \dots, y_{k-1}'(t)=y_k(t), $

$\displaystyle y_k'(t) = F(t,y_1(t),\dots,y_k(t) ) $

zurückführen. Dieses System kann auch aufgefaßt werden als eine Differentialgleichung für eine vektorwertige Funktion $ \vec{y}:D\to R^k$ .

Die obige Rückführung erhält die Linearität einer Differentialgleichung.

Durch die Einführung einer neuen Variable $ y_{k+1}:D\to\mathbb{R}$ und einer neuen Gleichung

$\displaystyle \forall t\in D: y_{k+1}'(t)=1 $

kann sogar auf den ``zeitunabhängigen'' oder ``autonomen'' Fall zurückgeführt werden, bei dem dir rechte Seite nicht von $ t$ abhängt. Diese Rückführung erhält aber die Linearität nicht mehr.

Analoge Rückführungen sind für den diskreten Fall möglich. Hier kann auf Rekursionsgleichungen erster Ordnung zurückgeführt werden.



Josef Schicho 2016-01-17