Variationsrechnung

Es sei $[a,b]\to\mathbb{R}$ ein beschränktes Intervall, $L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ stetig differenzierbar, $c,d\in\mathbb{R}$ . Unter den Funktionen $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ , die die Randbedingung $f(a)=c,f(b)=d$ erfüllem sucht man eine, die das Integral $I(f)=\int_a^b L(f(x),f'(x))dx$ minimieren. Für Lösungen dieses Variationsproblems gibt der folgende Satz eine notwendige Bedingungung an.

Satz 25   Es sei $y:[a,b]\to\mathbb{R}$ eine Lösung des obigen Variationsproblems. Es seien $L_y$ und $L_z$ die beiden partiellen Ableitungen der Funktion $L$ . Dann erfüllt $y$ die Euler-Lagrange-Gleichung

$$L_y(y(x),y'(x)) = \frac{dL_z(y(x),y'(x))}{dx} .$$

Beweis. Es sei $h:[a,b]\to\mathbb{R}$ differenzierbar mit $h(a)=h(b)=0$ . Dann hat die Funktion $\epsilon\to I(y+\epsilon h)$ bei $\epsilon=0$ ein Minimum und erfüllt daher $I'(0)=0$ . Daher gilt

$$I'(0)=\int_a^b [ L_y(y(x),y'(x))h(x)+L_z(y(x),y'(x))h'(x)] dx$$

$$= \int_a^b \left [L_y(y(x),y'(x)) - \frac{dL_z(y(x),y'(x))}{dx}\right] h(x)dx ,$$

wobei man verwendet daß der erste Summand in der partiellen Integration wegen $h(a)=h(b)=0$ verschwindet. Weil das Integral für jede solche Funktion $h$ gleich Null ist, muß der Faktor in der eckigen Klammer identisch verschwinden, das heißt die Euler-Lagrange-Gleichung ist erfüllt. $\qedsymbol$

Ein einfaches Beispiel ist das Problem der kürzesten Verbindung. Hier wählt man $L(y,z)=\sqrt{1+z^2}$ . Die Euler-Lagrange-Gleichung ist $y''=0$ . Die Lösung ist natürlich die Gerade.

Ein weiteres Beispiel ist das Problem der schnellsten Verbindung (Brachystochrone) unter dem Einfluß der Schwerkraft: am Punkt $(x,y)$ ist die Geschwindigkeit $\sqrt{2gy}$ , wobei $g$ die Erdbeschleunigung ist. Man setzt $L(y,z)=\sqrt\frac{1+z^2}{2gy}$ . Die Euler-Lagrange-Gleichung ist $1+y'^2+2yy''=0$ . Die Lösungskurve ist eine Zykloide, mit der Parameterdarstellung

$$x = r\cos(t)+rt+d, y = r\sin(t)+r .$$

Variationsprobleme mit einer Nebenbedingung der Art $J(f)=\int_a^b N(f(x),f'(x)) dx=C$ , wobei $N:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ stetig differenzierbar ist und $C\in\mathbb{R}$ ist, können mit der Methode des Lagrange-Multiplikators behandelt werden. Sie führt auf die Gleichung

$$L_y(y(x),y'(x))+\lambda N_y(y(x),y'(x)) = \frac{dL_z(y(x),y'(x))}{dx}+\lambda\frac{dN_z(y(x),y'(x))}{dx} ,$$

wobei $\lambda\in\mathbb{R}$ so gewählt wird, daß die Nebenbedingung erfüllt ist.