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Es sei
ein reelles Intervall.
Es sei
eine matrix-wertige stetige Funktion.
Für eine vektorwertige Funktion
betrachtet man die homogene lineare Differentialgleichung
mit variablen Koeffizienten
|
(6) |
Nach dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz (wird später behandelt) ist das Anfangswert für diese
Gleichung für jede Stelle
und Anfanswert
eindeutig lösbar. Für fixes
definieren
wir eine matrix-wertige Funktion
, deren
-te Spalte die Lösung von
Gleichung 6 mit
(der
-te Einheitsvektor) ist. Wegen der Linearität
ist die Lösung mit Anfangsvektor
gleich
. Für jedes
und
ist
invertierbar, die inverse Matrix ist
. Die Matrixfunktion
erfüllt
die Differentialgleichung
.
Wenn
bekannt ist, kann man die inhomogene Gleichung
|
(7) |
wobei
eine gegebene stetige Funktion ist, durch den Ansatz
lösen.
Nach Einsetzen und Kürzen erhält man
oder äquivalent dazu
und eine spezielle Lösung von (7) kann durch Integration berechnet werden.
Die allgemeine Lösung von (7) läßt sich schreiben als spezielle Lösung plus
allgemeine Lösung der homogenen Gleichung (6).
- Literatur:
- [3, VIII.58]
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Josef Schicho
2016-01-17