Wissenschaftliches Rechnen: hp-FE Methoden, Teil 1

Zur numerischen Lösung partieller Differentialgleichungen auf nontrivialen Gebieten werden bevorzugt Finite Elemente Methoden (FEM) verwendet. Das Gebiet wird dabei in einfache geometrische Objekte unterteilt und eine Näherungslösung als Linearkombination von lokal definierten Basisfunktionen berechnet. Ausgehend von einer Variationsformulierung der partiellen Differentialgleichung wird das Problem in ein lineares Gleichungssystem überführt. Zur Lösung werden im Allgemeinen iterative Merhoden verwendet, deren Konvergenzverhalten unter anderem von einer geeigneten Wahl der Basisfunktionen abhähngt. Für Probleme mit glatten Lösungen kann die Konvergenzgeschwindigkeit dieser Verfahren erheblich gesteigert werden, wenn Basispolynome höheren Grades verwendet werden (high order FEM), d.h. die p-bzw. hp-Version der FEM.

Die Vorlesung beschäftigt sich mit theoretischen und numerischen Aspekten zu hp-FEM,

• Wahl geeigneter Basisfunktionen
• Schnelle Aufstellung der Steifigkeitsmatrix
• Konvergenz

Diese Lehrveranstaltung ist der erste Teil einer Vorlesung über hp-Methoden und wird geblockt ab 4. November 2010, Do 12:00-13:30, HT 177F bis 16.Dezember 2010 abgehalten. Im Sommersemester wird eine geblockte Fortsetzung von Sven Beuchler im März 2011 gehalten. Die Vorlesungen sind thematisch getrennt, aber es wird empfohlen beide Vorlesungen zu hören. In diesem Fall besteht die Möglichkeit Noten für beide Veranstaltungen durch ein gemeinsames Projekt (praktische und theoretische Anwendung des Stoffs) zu erhalten.

Die Vorlesung wird je nach Bedarf auf deutsch oder englisch gehalten.

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Scientific Computing: hp-FE methods, part 1

Finite element methods (FEM) are one of the most commonly used techniques for obtaining numerical solutions to partial differential equations on non trival domains. The given domain is subdivided into simple geometric objects and an approximate solution is computed as a linear combination of locally supported basis functions. Starting from a variational formulation of the partial differential equation the discretization yields a system of linear equations that is usually solved using iterative methods. The performance of the iterative solvers is closely related to the choice of basis functions. For problems with smooth solutions, the speed of convergence can be considerably accelerated if as basis polynomials of higher degree are chosen (high order FEM), i.e., the p- and hp-version of FEM respectively.

This lecture treats theoretical and numerical aspects of hp-FEM,

• choice of suitable basis functions
• fast assembling of the stiffness matrix
• convergence

This lecture is the first part of a lecture on higher order finite element methods and is held blocked starting from November 4, 2010, 12:00-13:30, HT 177F until December 16, 2010. In summer 2011 a continuation of this lecture will be held blocked by Sven Beuchler in March 2011. It is recommended to visit both lectures. In this case there is the option to get grades for both lectures by submitting a project (practical and theoretical application of the content).

Depending on the needs the lectures are held either in english or german.

Find here notes on related literature, mesh grading in 2D and some properties of Jacobi polynomials and the slides of the first part of the lecture here.

The exercises for completing the course can be found here.

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Veronika Pillwein